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[재미있는 수학 이야기] 황금비율 만드는 ‘피보나치 수열’

아름다움 속에 숨은 수학의 규칙을 알아보자!



초등 매거진 '톡톡'으로 수학, 외우지 말고 재미있게 이해하자!
본 기사는 초등 매거진 <톡톡> 3월호에 수록된 내용입니다.

따뜻한 봄날이 되면 진달래, 개나리, 목련이 꽃망울을 틔우고, 길가에 늘어선 벚나무들은 탐스러운 벚꽃을 흐드러지게 피웁니다. 사람들은 알록달록한 색의 꽃을 ‘예쁘다’라고 생각합니다. 이렇게 아름다운 꽃의 모양은 어떻게 나오는 것일까요? 우리가 예쁘다고 여기는 것들에는 사실 ‘피보나치의 수’라는 수학규칙의 비밀이 숨어있다고 합니다. 아름다움이 뿜뿜~ 뿜어져 나오는 피보나치 수열을 함께 알아보도록 해요!

피보나치, 새로운 수열을 제안하다!

수학자 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci, 1175~1250)는 이탈리아 피사 출신으로 어릴 적부터 상인 아버지를 따라 세계 곳곳을 여행했습니다. 그는 여행하는 곳마다 아랍의 상인들이 아라비아 숫자를 사용해 계산하는 것을 지켜보며, 이 방식이 로마 숫자로 기록하는 방식보다 우월하다는 것을 알게 됐죠. 고향으로 돌아온 피보나치는 여행하면서 배웠던 수학적 지식들을 정리해 <산반서(Liber Abaci)>라는 책을 폅니다.

토끼로 알아보는 ‘피보나치 수열’

<산반서>는 상인이과 회계사를 위해, 일상에서 필요한 계산 문제의 예시와 어려운 문제들을 다루고 있습니다. 이 책을 펼쳐보면 수학사를 뒤흔들만한 위대한 문제, ‘피보나치의 수열’을 나타내는 문제가 실려 있어요.

1년 뒤 토끼는 모두 몇 쌍?
첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다.
두 달 이상이 된 토끼는 번식 가능하다.
번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 암수 토끼 한 쌍을 낳는다.
토끼는 죽지 않는다.
일 년 뒤 토끼는 모두 몇 쌍이 될까?

-<산반서> 3부 중

이 문제를 풀어보면, ‘첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다. 두 달 이상이 된 토끼는 번식 가능하다. 번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 암수 토끼 한 쌍을 낳는다.’이기 때문에 첫 달과 둘째 달에는 1쌍씩 그대로 유지됩니다.

둘째 달부터 번식이 가능해진 토끼는 셋째 달부터 출산을 시작합니다. 그래서 셋째 달에는 2쌍이 됩니다. 넷째 달에는 암수 1쌍이 또 암수 1쌍을 낳아 총 3쌍이 되고, 다섯 째 달에는 부모가 또다시 1쌍을 낳고, 새끼도 어른이 되어 1쌍을 낳아 총 5쌍이 됩니다.

    
토끼의 암수 쌍의 수를 나열해 보면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 이라는 배열을 발견할 수 있습니다. 이 수의 나열을 바로 ‘피보나치 수열’이라고 부릅니다. 혹시 여기에 어떤 규칙이 숨어있는지 알겠나요? 맞아요! 피보나치 수열의 가장 큰 특징은 배열된 ‘앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 된다’라는 사실입니다.

아름답다고 느끼는 피보나치 수열 속 ‘균형’

그런데 그거 아세요? 피보나치의 수열과, 인간이 ‘아름답다’고 느끼게 해 주는 ‘황금비율’ 사이에는 놀라운 연관성이 있습니다. 뒤의 수를 바로 앞의 수로 나누게 되면 몫이 황금비율(1:1.618)인 가까워지거든요!

2/1=2
3/2=1.5
5/3=1.666
8/5=1.5
13/8=1.625
21/13=1.615
34/21=1.619
55/34=1.6176
89/55=1.618
144/89=1.6179
233/144=1.618

피보나치 수열과 연관된 황금비율(1:1.618)은 자연 속에서 쉽게 발견할 수 있어요. 소라, 앵무조개, 달팽이 껍데기 등에서 보이는 나선무늬, 해바라기의 나선무늬나 식물의 잎맥, 솔방울 속 씨의 모습 같은 것들 말이죠.


또한 황금비는 인공물에서도 그 아름다움을 뽐내는데요, 그리스 아테네 파르테논 신전, 이집트의 피라미드, 현대 건축가 르 꼬르뷔지에가 만든 유엔 본부의 건물 등의 건축물 뿐만 아니라 신용카드, 명함, 기업의 로고 등에 적용되고 있죠.

사람에게도 황금비가 적용되면 아름다워 보이는 것은 마찬가지입니다. 얼굴의 경우는 입술에서 코끝까지의 길이, 그리고 코끝에서 두 눈의 중점까지의 길이가 황금비에 가까울수록 미남, 미녀에 가까우며, 키와 배꼽 높이까지의 하체길이의 비율이 1:0.618이 될 때 가장 균형 잡힌 몸매로 보인다고 합니다.

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