박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ③
한양대학교 논술전형은 수능 최저학력기준이 없어 많은 상위권 학생들이 관심을 가지는 전형이다. 이번 회에서는 전년도 한양대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.
○ 한양대학교 수시모집 논술고사
한양대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 90분에 수리논술 2개 대문항이 출제되고, 각 대문항 당 소문항은 2~3개 정도 출제되어 왔다. 2018학년도 시험에서는 전 모집단위의 문제에서 소문항이 3개씩 출제되었다. 올해의 논술시험도 작년과 유사한 형식으로 진행된다.
2018학년도 한양대 수리논술 문제의 난이도는 평이했으며 출제방식 및 유형도 예년과 큰 차이가 없었다.
○ 2018학년도 한양대학교 자연계열 수리논술 기출분석
2018학년도 한양대 수리논술 시험은 지원 학과에 따라 △오전 △오후1/오후2 △의예과로 나누어 시행되었다. 이제부터 이 네 번의 시험 문제에 대하여 순차적으로 분석을 시작할 것이다. 아래 문항분석에는 문제 풀이 방법을 알아챌 수 있는 설명이 많이 포함되어 있으므로 진지하게 공부해보고자 하는 학생들은 문제를 먼저 풀어 본 후 문항설명을 읽어볼 것을 권한다.
학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주기 위해서는 어느 정도의 아이디어는 공개할 수밖에 없는 점 양해를 바라며, 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.
○ 오전
2018학년도 오전에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.
2018학년도 한양대 수리논술은 비교적 평이한 수준의 [문제 1]과 변별력이 있는 [문제 2]번의 조합으로 이루어진 경우가 많았다. 오전에 출제된 문제도 그러했으며 오전 응시 합격자의 논술평균점수는 최고 87점(수학과)에서 최저 65점(의류학과(자연)) 사이에 분포했다.
문항분석
[문제 1]
타원과 그것에 외접하는 직각삼각형의 관계를 묻는 문제가 출제되었다. 기본적인 공식을 이용하여 착실히 계산한다면 해결할 수 있는 문제이다. 이 문제에서는 무엇보다도 각 ‘소문항 사이의 연관성을 발견’하는 것이 중요하다. 각각의 소문항을 살펴보자.
소문항 1
주어진 타원의 접선 위에서 만들어지는 선분의 길이의 비를 구하는 문제로, 다음 소문항들을 위한 보조문항의 성격이 강한 문제이다. 접선의 방정식을 구한 후 각각의 직선과의 교점의 좌표를 구하면 어렵지 않게 해결되는 문제이다. 대학에서 공개한 예시답안에서는 두 선분의 길이를 직접 구하여 답을 내었는데, 만약 두 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형이 서로 닮음이므로 빗변의 길이 비와 밑변 길이 비가 같음을 떠올렸다면 더 간단히 계산할 수 있을 것이다.
소문항 2
주어진 타원에 외접하는 직각삼각형의 넓이의 최솟값을 구하는 문제가 출제되었다. 따라서 그러한 직각삼각형의 넓이를 매개변수 t로 표현할 수만 있다면 최솟값을 구하는 것은 간단한 일일 것이다. 단, 이 넓이를 구할 때, 소문항 1의 결론을 이용한 학생은 좀 더 쉽게 넓이를 구했을 것이다.
소문항 3
주어진 직각삼각형에 내접하는 타원 중 넓이가 최대일 때를 구하는 문제다(참고로 문제에서 말한 ‘타원의 장축과 단축의 곱’이 타원의 넓이와 관계있는 값입니다). 이것만 읽고도 눈치를 챘다면 수학적 감각이 좋은 학생이다. 다시 한 번 소문항 2, 3번에서 구하는 것을 정리하면 다음과 같다.
2번 : 주어진 타원에 외접하는 직각삼각형의 넓이가 최소일 때
3번 : 주어진 직각삼각형에 내접하는 타원의 넓이가 최대일 때
이제는 눈치 챌 수 있지 않을까?
그렇다. 2번과 3번의 두 경우는 같은 경우이며, 주어진 대상과 구해야 하는 대상만 바꾸어 놓은 것이다. 물론 당연히 둘은 같은 경우니까 대입하여 바로 답을 쓰라는 것은 아니다. 2번에서와 같은 때 최댓값을 가짐을 수식으로 보여야 한다.
처음으로 돌아가 생각하면 장축과 단축의 곱이 최댓값을 구하는 문제이므로 장축과 단축의 곱을 적당한 변수의 함수로 표현해야 한다. 이 때, 위에서 두 경우는 같은 경우라고 설명하였듯 이 장축과 단축의 곱은 2번에서와 비슷한 식(관계있는 식)이 나올 수밖에 없다. 이를 잘 이용한다면 매우 간단한 계산으로 이 문제를 해결할 수 있을 것이다.
[문제 2]
다양한 형태로 합성, 변형된 함수에서 미분계수의 성질을 찾아내는 문제이다. 마지막 소문항의 난이도가 조금 높은 편이다. 각 소문항을 살펴보자.
소문항 1
무려 1009개의 일차식의 곱으로 이루어진 함수의 2에서의 미분계수가 0이 아님을 보이는 문제이다. 그냥 미분하여 계산하면 해결되며 한양대에서 공개한 답안에도 그렇게 설명되어 있다. 개인적으로는 그냥 미분하기보다는 로그를 취하여 미분할 것을 권한다(단, 로그미분법을 사용할 경우에는 분모가 0이 되는 경우를 언급해주어야 한다). 이와 같이 곱해진 함수의 개수가 많을 때는 로그미분법을 사용하는 것이 편리할 수 있다.
소문항 2
소문항 1의 함수에 대하여 도함수가 만족하는 부등식을 증명하는 문제이다. 바로 직전년도인 2017학년도에 한양대에서 거의 같은 부등식을 증명하는 문제를 출제했었다(참고로 오후2의 문제1(3) 문항이다). 함수만 달라지고 문제 해결의 근본 원리는 같으므로 사전에 그 문제를 풀어봤던 학생은 도움이 되었을 것이다. 자주 등장할 수 있는 수식이므로 식의 모양을 기억해 둘 것을 권해드리고 자세한 설명은 생략한다. 단, 소문항 1과는 달리 모든 실수 x에서의 성질을 보이는 문제이므로 분모가 0이 되는 경우(1, 3, …, 2017)는 별도로 생각해야 함을 주의하자.
소문항 3
앞에서보다 좀 더 복잡하게 합성된 함수에 대하여 근 α에서의 함숫값과 미분계수를 구하는 문제이다. 오전 시험에서 가장 어려웠던 문제가 아닌가 생각되며 모든 점에서의 값을 구하는 것이 아니라 한 점 α에서의 값을 구하는 것이므로 ‘대입’이 문제풀이의 한 축이 될 것이다. 이것만 잘해도 함숫값 h(α)는 쉽게 구할 수 있다. 미분계수 h'(α)를 구하기 위해서 주어진 식을 필요한 형태로 변형하여 사용해야 하는데, 이 때, 가장 중요한 것은 문제에 주어진 ‘정수조건’을 얼마나 잘 활용하는가? 이다.
한양대학교 수리논술 시험은 2015학년도부터 난이도가 큰 폭으로 떨어졌고, 시험시간이 90분으로 고정된 2017학년도부터 현재까지 문제의 유형과 난이도가 비슷하게 유지되고 있다. 한양대 수리논술 시험에서는 이전에 출제되었던 개념, 수식뿐만 아니라 문제풀이의 주요한 아이디어들이 반복되어 사용되는 경우가 있으므로 2019학년도에 한양대학교 논술전형에 지원하는 수험생들은 최근의 기출문제는 반드시 풀어보며 시험을 준비하도록 하자.
한양대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.
▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사
▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com
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