이번 시간에는 지난해 한양대 의예과 논술에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 살펴본다.
한양대에서는 잠시 동안 논술전형에서 의예과 학생들을 선발하지 않다가 다시 의예과 학생들을 선발하기 시작하면서 의예과 논술시험 문제를 별도로 출제하기 시작했다. 의예과 수리논술 문제와 의예과 외 자연계열 수리논술 문제 자체의 유형은 유사하며 난이도에 조금 차이가 있다. 즉, 의예과 문제에서는 좀 더 심도 있는 사고를 필요로 하는 문제가 출제될 수 있다.
아래 문항분석에는 문제 풀이 방법을 알아챌 수 있는 설명이 많이 포함되어 있으므로 진지하게 공부해보고자 하는 학생들은 문제를 먼저 풀어 본 후 문항설명을 읽어볼 것을 권한다.
학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주기 위해서는 어느 정도의 아이디어는 공개할 수밖에 없는 점 양해를 바라며, 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.
○ 의예과
2018학년도 의예과에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.
2018학년도 한양대 의예과 수리논술은 [문제 1]과 [문제 2]가 모두 어려웠다. [문제 1]의 경우는 변수에 대한 기본적인 이해를 가지고 있고, 이차방정식의 근을 근본적으로 분석할 수 있는 학생에게는 기본적인 문제였을 수도 있지만, 이러한 유형을 생소하게 받아들인 학생에게는 어렵게 느껴졌을 것이다. [문제 2]는 오후2에서와 같은 문제에서 1개의 소문항이 변형되었다. 2018학년도 한양대 의예과 합격자의 논술 평균점수는 64점 정도였다.
문항분석
[문제 1]
원이 직선과 만나 생기는 현의 길이가 주어지고, 원의 중심이 특정 영역에 있기 위한 조건을 찾아내는 문제이다. 이 문제를 해결하는 데는 다음 3가지의 의미를 파악하는 것이 중요하다.
1) 주어진 현의 길이를 어떻게 활용할 것인가?
2) 원의 중심이 특정영역( 등)에 포함된다는 것은 무슨 뜻인가?
3) ‘원이 존재’한다는 것은 무슨 뜻인가?
문제는 전반적으로 문제에 주어져 있는 1)과 2)의 조건을 분석하여 3)의 조건을 도출하는 구조를 가지고 있다. 따라서 위 3가지의 의미만을 이해한다면 이 문제를 해결하는 것은 어렵지 않을 것이다. 여기서는 위 세 가지에 대해서만 간단히 코멘트를 달 것이다.
1) 주어진 현의 길이를 어떻게 활용할 것인가?
학생들에게 많이 익숙한 부분이 아닐까? 원의 현의 길이와 관련된 문제가 나왔을 때, 원의 중심에서 현에 수선을 그어 원의 중심, 수선의 발(현의 중점), 현의 끝점을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 활용하여 현의 길이를 구하거나 현의 길이를 활용하였던 경험이 있으리라 생각한다. 이 문제에서도 원의 중심과 주어진 직선 사이의 거리를 구한 후 피타고라스 정리를 이용하여 문제풀이의 씨앗이 되는 식들을 유도해 낼 수 있다.
2) 원의 중심이 특정영역에 포함된다는 것은 무슨 뜻인가?
1)에서 유도된 식은 점과 직선사이의 거리 공식을 이용했기 때문에 기본적으로 절댓값을 포함하고 있다. 여기서 원의 중심이 A4에, 또는 A2에 포함된다는 조건이 주어지면 직선의 방정식의 좌변의 부호가 결정되기 때문에 1)에서 생긴 절댓값을 벗겨줄 수 있게 된다.
3) ‘원이 존재’한다는 것은 무슨 뜻인가?
1)과 2)의 조건을 분석하면 우리는 결과적으로 원의 반지름 r이 만족하는 관계식을 얻게 됩니다. 여기서 ‘원이 존재’하기 위해서는 r에 대한 방정식이 양의 실근을 가져야 하고, 이를 만족하는 조건을 찾으면 각 소문항들은 해결 가능해진다.
이 문제에서는 r이 만족하는 관계식이 제곱근(루트)를 포함한 무리식으로 유도되기 때문에 제곱근을 포함한 적당한 부분을 치환하여 식을 정리할 것을 권한다. 그러면 이차방정식으로 변환할 수 있고, 여기서 근과 계수와의 관계 등을 활용하면 복잡한 계산 없이 양의 실근을 가지기 위한 조건을 얻을 수 있을 것이다.
[문제 2]
소문항1과 소문항2는 각각 오후2 시험의 소문항1, 소문항3과 동일하므로 생략한다.
소문항 3
주어진 다항식의 계수가 만족하는 성질을 찾아내는 문제로 고난이도의 문항이다. 특히 k항과 k+1항의 관계가 단순하게 나타나지 않는 점을 학생들이 어려워했을 것 같다.
이 문제의 해결에는 여러 가지 방법이 있으나 어떤 방법을 사용하든 출발은 같을 것이다. 필자가 학생들에게 자주 강조하는 부분으로 존재성에 대한 문제, 특히 ‘존재하지 않음’을 보이는 문제에서 ‘귀류법’을 사용하는 경우가 많다. 이 문제도 직접적으로 모든 항을 계산하여 주어진 조건을 만족하는 k가 없음을 보이기 힘들기 때문에 귀류법을 사용함이 옳다.
귀류법을 사용하여 문제의 조건을 만족하는 k가 존재함을 가정했다면, 우리는 어디에선가 모순이 발생함을 보여야 한다. 그러기 위해서는 수열 의 성질을 문제의 조건에 적용해야 한다. 여기에는 여러 가지 방법이 있으며, 대표적으로
1) 미분을 통하여 과 의 관계를 찾아내는 방법,
2) 이항정리를 활용하여 를 직접 구한 후(시그마를 이용하여 나타낼 수 있다). 과 의 합과 차에서 파스칼의 정리를 활용하여 관계를 찾아내는 방법
등이 있다.
어떤 방법을 썼더라도 여기까지 진행한 학생들은
세 식의 관계를 이용해야 함을 발견했을 것이다. 이 세 식의 관계를 이용하여 수열의 관계를 서술하고, 그로부터 모순점을 발견하여야 한다. 참고로 올해 모의논술(2019학년도 한양대 1차 모의논술)에서는 이들의 관계를 잘 활용할 수 있도록 문제 자체에서 길잡이를 해주고 있다. 따라서 이 문제를 먼저 풀어본다면 더욱 접근하기 쉬울 것이다.
한양대학교 수리논술 시험에서는 이전에 출제되었던 개념, 수식뿐만 아니라 문제풀이의 주요한 아이디어들이 반복되어 사용되는 경우가 있으므로 2019학년도에 한양대학교 논술전형에 지원하는 수험생들은 최근의 기출문제는 반드시 풀어보며 시험을 준비하도록 하자.
한양대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.
▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com
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